ベクトル空間 - 院進予定から就職に変更B4

キーワード

ベクトル空間/部分空間/生成元/部分空間の次元/部分空間の基底/ベクトル空間の核/解空間/和空間/交空間

＜ベクトル空間＞

空でない集合Vが和と係数倍について閉じていて、（任意のu,v,w∈V, 任意の係数a∈R）に対し次の条件を満たすとき、Vを線型空間（ベクトル空間）という。

※

集合Vの任意の元u,vにおいて、その和がまたVの元になるとき「Vは和について閉じている」という。同様に、任意の係数aにおいて係数倍がまたVの元になるとき「Vは係数倍について閉じている」という。

＜n個のベクトルの線形独立性の確認法＞

＜部分空間＞

R^nのベクトルの組{a1, ..., ak}に対し、これらの線形結合の全体Wを

{a1, ..., ak}（生成元）で張られるR^nの部分空間という。

rank(a1, ..., ak) = l ≤ k のときlをWの次元といい、dimWと表す。a1, ..., akの中の線形独立なl個のベクトルをWの基底という。すなわち、Wの元で線形独立となるようなベクトルの最大個数lをWの次元という。

Wの基底と次元は行列[a1 a1 ... ak]に行基本変形をすることでもとまる。

まとめると、

部分空間Wにおいて、

dimW = a1,..., akの線形独立なベクトルの最大個数= rank(a1, ..., ak)

＜核＞

線形写像の行列をAとし、

Ax=0となるようなx∈R^kの全体を「Aの核」という。

Aを表現行列とする連立方程式Ax=0の解の全体と一致するので解空間ともいい、

KerA = K[a1, a1, ..., ak]で表す。解空間はR^kの部分空間となっている。

解空間の基底はAに対する行基本変形で求められる。

解空間の次元は dimK[a1, ..., ak] = k - rankA

基底を求めてからその個数でもよい。

＜和空間＞

V = L[a1, ..., an]

W = L[b1, ..., bk]

の和空間 V+W の元は c = a + b で表され、

V+W = L[a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bk]

dim(V+W) = rank[a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bk]

線形独立なベクトルを選ぶことでV+Wの基底を求められる。

＜交空間（共通部分空間）＞

V ∩ W の元cは

c ∈ V = {s1a1 + s2a2 + ... + snan | s1, ..., sn ∈ R}

c ∈ W = {t1b1 + t2b2 + ... + tkbk | t1, ..., tk ∈ R}

を満たす。つまり交空間はV + Wの解空間。

dim(V ∩ W) = dim V + dim W - dim(V+W)

交空間の基底は、和空間の解空間の基底に一致する。